Branching Random Walk with Exponentially Decreasing Steps, and Stochastically Self-Similar Measures
( Ветвящиеся случайные блуждания с экспоненциально уменьшающимися шагами и стохастически самоподобные меры )
I.Benjamini, O.Gurel-Gurevich, B.Solomyak
2009
Рассмотрим ветвящееся случайное блуждание на R, шаг которого убывает с фиксированным коэффициентом λ, 0< λ <1. Этот процесс задает вероятностную меру на R, являющуюся пределом равномерного распределения между 2n точками на n-м шаге. Мы проведем начальное исследование предельной меры и ее носителя. Покажем, в частности, что (1) для почти каждого λ >1/2 предельная мера почти наверное абсолютно непрерывна по мере Лебега, но в случае 1/ λ - чисел Писота – почти наверное сингулярна; (2) для каждого λ >(-1)/2 носитель меры почти наверное является замыканием ее ядра; (3) в случае 1/ λ - чисел Писота носитель меры «раздроблен», т.е. он почти наверное несвязен и компоненты дополнения к нему незамкнуты с обеих сторон.